Um número fascinante
PI, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. E' tambem um dos poucos objetos matematicos que, ao ser mencionado, produz reconhecimento e ate mesmo interesse em praticamente qualquer pessoa alfabetizada.
Apesar da antiguidade do nosso conhecimento do PI, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Com efeito, dentre os objetos matemáticos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, Pi é um dos poucos que ainda continua sendo pesquisado: suas propriedades continuam a ser investigadas e procura-se inventar novos e mais poderosos métodos para cálcular seu valor, sendo que a divulgação desses resultados constitui uma das raras ocasiôes em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa.
Como uma consequência dessa situação, e como uma outra maneira de demonstrar o interesse e fascinação despertados pelo PI, os editores estão sempre a publicar livros dedicados inteiramente ao tema e dirigidos tanto ao grande público como a professores e pesquisadores. Entre os mais recentes, podemos destacar:
PI está em todos os lugares
O rolar das ondas numa praia, o trajeto aparente diário das estrelas no céu terrestre, o espalhamento de uma colônia de cogumelos, o movimento das engrenagens e rolamentos, a propagação dos campos eletromagnéticos e um sem número de fenômenos e objetos, do mundo natural e da Matemática, estão associados às idéias de simetria circular e esférica. Ora, o estudo e uso de círculos e esferas, de um modo quase que inexorável, acaba produzindo o PI. Daí a ubiquidade desse número. Ele é uma das constantes universais da Matemática.
É importante chamarmos a atenção para o fato que também são frequentes as ocorrências do PI em estudos onde aparentemente, principalmente para uma pessoa de pouca formação matemática, não estariam envolvidas simetrias circulares: na normalização da distribuição normal de probabilidades, na distribuição assintótica dos números primos, na construção de números primos próximos a inteiros dados ( na chamada constante de Ramanujan ), e mil e uma outras situações.
EXERCÍCIO
Faça um levantamento das fórmulas de áreas e volumes das figuras da Geometria Euclidiana e que tenham algum tipo de circularidade ou esfericidade ( como é o caso de cilindros e cones circulares ). Para cada uma dessas figuras, procure explicar a plausibilidade da ocorrência, ou não, do PI em tais fórmulas.
EXERCÍCIO
As funções trigonométricas circulares ( seno, co-seno, etc ) são definidas em termos de um círculo unitário. Consequentemente, não deve ser surpreendente a ocorrência do PI em valores dessas funções e nas relações entre elas.
Pede-se examinar se essa ocorrência também vale para as funções trigonométricas hiperbólicas.
EXERCÍCIO
A área de uma elipse de semi-eixos a e b é dada por PI . a . b
Pede-se defender a plausibilidade da ocorrência de PI nessa expressão.
EXERCÍCIO
Se V. conhecer Calculo Infinitesimal, explique por que é nao é surpreendente que a área sob o gráfico da função y = 1/(1+x2), ao x variar de menos a mais infinito, valha PI.
EXERCÍCIO
O estudo dos fenômenos gravitacionais e eletromagnéticos são protótipos de fenômenos envolvendo ação à distância e, como tal, associados à propagação esférica. Pede-se dar exemplos de fórmulas gravitacionais e eletromagnéticas envolvendo PI. V. seria capaz de apontar outros exemplos de fenômenos de ação à distância?
EXERCÍCIO
Tanto a fórmula que expressa a força gravitacional entre duas massas como a que dá a força entre duas cargas elétricas resultam de uma ação à distância, sendo que em ambas a força diminui inversamente ao quadradado da distância. Procure explicar por que é que uma delas envolve PI e a outra não.
EXERCÍCIO
A propagação do som ocorre através de esferas. V. seria capaz de explicar por que é que, apesar disso, a fórmula que expressa a percepção humana ( em decibéis ) da intensidade de uma fonte sonora NAO envolve PI?
DICA: parta do fato que essa fórmula envolve logaritmo e não podemos calcular logaritmo de metros ou outra grandeza física.
Os vários tipos de PI
Em verdade, na Geometria Euclidiana, temos quatro constantes que poderiam ser chamadas de PI:
area do circulo = d/2 . C/2 = d/2 . PI.d/2 = PI/4 . d 2
Voce seria capaz de pensar em algo análogo para a área e o volume da esfera?
Referencia :
http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/aplcom1a.html
PI, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. E' tambem um dos poucos objetos matematicos que, ao ser mencionado, produz reconhecimento e ate mesmo interesse em praticamente qualquer pessoa alfabetizada.
Apesar da antiguidade do nosso conhecimento do PI, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Com efeito, dentre os objetos matemáticos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, Pi é um dos poucos que ainda continua sendo pesquisado: suas propriedades continuam a ser investigadas e procura-se inventar novos e mais poderosos métodos para cálcular seu valor, sendo que a divulgação desses resultados constitui uma das raras ocasiôes em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa.
Como uma consequência dessa situação, e como uma outra maneira de demonstrar o interesse e fascinação despertados pelo PI, os editores estão sempre a publicar livros dedicados inteiramente ao tema e dirigidos tanto ao grande público como a professores e pesquisadores. Entre os mais recentes, podemos destacar:
- Lennart Berggren (ed) - Pi: A Source Book
Springer Verlag, 2nd ed., NYork, 2000
( nada menos do que 736 paginas! )- J. P. Delahaye - Le fascinant nombre Pi
Editions Belin / Pour La Science, Paris, 1997.- J. Arndt - PI, unleashed.
Springer Verlag, NYork, 2000.
PI está em todos os lugares
O rolar das ondas numa praia, o trajeto aparente diário das estrelas no céu terrestre, o espalhamento de uma colônia de cogumelos, o movimento das engrenagens e rolamentos, a propagação dos campos eletromagnéticos e um sem número de fenômenos e objetos, do mundo natural e da Matemática, estão associados às idéias de simetria circular e esférica. Ora, o estudo e uso de círculos e esferas, de um modo quase que inexorável, acaba produzindo o PI. Daí a ubiquidade desse número. Ele é uma das constantes universais da Matemática.
É importante chamarmos a atenção para o fato que também são frequentes as ocorrências do PI em estudos onde aparentemente, principalmente para uma pessoa de pouca formação matemática, não estariam envolvidas simetrias circulares: na normalização da distribuição normal de probabilidades, na distribuição assintótica dos números primos, na construção de números primos próximos a inteiros dados ( na chamada constante de Ramanujan ), e mil e uma outras situações.
EXERCÍCIO
Faça um levantamento das fórmulas de áreas e volumes das figuras da Geometria Euclidiana e que tenham algum tipo de circularidade ou esfericidade ( como é o caso de cilindros e cones circulares ). Para cada uma dessas figuras, procure explicar a plausibilidade da ocorrência, ou não, do PI em tais fórmulas.
EXERCÍCIO
As funções trigonométricas circulares ( seno, co-seno, etc ) são definidas em termos de um círculo unitário. Consequentemente, não deve ser surpreendente a ocorrência do PI em valores dessas funções e nas relações entre elas.
Pede-se examinar se essa ocorrência também vale para as funções trigonométricas hiperbólicas.
EXERCÍCIO
A área de uma elipse de semi-eixos a e b é dada por PI . a . b
Pede-se defender a plausibilidade da ocorrência de PI nessa expressão.
EXERCÍCIO
Se V. conhecer Calculo Infinitesimal, explique por que é nao é surpreendente que a área sob o gráfico da função y = 1/(1+x2), ao x variar de menos a mais infinito, valha PI.
EXERCÍCIO
O estudo dos fenômenos gravitacionais e eletromagnéticos são protótipos de fenômenos envolvendo ação à distância e, como tal, associados à propagação esférica. Pede-se dar exemplos de fórmulas gravitacionais e eletromagnéticas envolvendo PI. V. seria capaz de apontar outros exemplos de fenômenos de ação à distância?
EXERCÍCIO
Tanto a fórmula que expressa a força gravitacional entre duas massas como a que dá a força entre duas cargas elétricas resultam de uma ação à distância, sendo que em ambas a força diminui inversamente ao quadradado da distância. Procure explicar por que é que uma delas envolve PI e a outra não.
EXERCÍCIO
A propagação do som ocorre através de esferas. V. seria capaz de explicar por que é que, apesar disso, a fórmula que expressa a percepção humana ( em decibéis ) da intensidade de uma fonte sonora NAO envolve PI?
DICA: parta do fato que essa fórmula envolve logaritmo e não podemos calcular logaritmo de metros ou outra grandeza física.
Os vários tipos de PI
Em verdade, na Geometria Euclidiana, temos quatro constantes que poderiam ser chamadas de PI:
- o PI de circunferências: a constante de proporcionalidade na relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro
- o PI de áreas de círculos: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de um círculo e o quadrado de seu diâmetro
- o PI de áreas de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de uma esfera e o quadrado de seu diâmetro
- o PI de volumes de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre o volume de uma esfera e o cubo de seu diâmetro
Usando as fórmulas clássicas da Geometria, fica muito fácil expressarmos qualquer uma dessas constantes de proporcionalidade em termos das demais. Por questão de tradição, prefere-se trabalhar exclusivamente com o PI da circunferência de círculos, o qual é denotado internacionalmente pela letra pi minúsculo, a letra inicial da palavra grega peripheria que significa perímetro ou circunferência ( essa notação surgiu no início do sec. 1700 e foi adotada e popularizada pelo importante livro Análise Infinitesimal, escrito por Euler c. 1750 ).
EXERCÍCIO
Pede-se expressar o PI de áreas de círculo, o PI de áreas de esferas e o PI de volumes em termos do PI de circunferências ( o PI classico ) e procure mostrar o verdadeiro porquê de tais relações. Por exemplo: podemos "decompor" um disco em infinitos triângulos retângulos de base infinitesimal e altura igual ao raio do disco; consequentemente, podemos ver a área do círculo ( ou do disco ) como a soma das desses triângulos:
EXERCÍCIO
Pede-se expressar o PI de áreas de círculo, o PI de áreas de esferas e o PI de volumes em termos do PI de circunferências ( o PI classico ) e procure mostrar o verdadeiro porquê de tais relações. Por exemplo: podemos "decompor" um disco em infinitos triângulos retângulos de base infinitesimal e altura igual ao raio do disco; consequentemente, podemos ver a área do círculo ( ou do disco ) como a soma das desses triângulos:
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area do circulo = d/2 . C/2 = d/2 . PI.d/2 = PI/4 . d 2
Voce seria capaz de pensar em algo análogo para a área e o volume da esfera?
Referencia :
http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/aplcom1a.html
Elis, adorei seu blog.
ResponderExcluirTudo muito lindo e difícil, ainda bem que tem pessoas que tem o dom da matemática, porque eu sofri tanto com ela.
Bjs
oi Elis, dando uma passadinha no seu blog, só não achei o link para te segui, bj
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